1
∫ √(1-y^3) dy
0
について。
y^3=xとする。
dx/dy=3y^2=3x^(2/3)

dy=(1/3)x^(-2/3)dx

1
∫(1/3)x^(-2/3)√(1-x)dx.........①
0

ここで、ベータ関数B(x,y)とガンマ関数Γ(x)を導入する
ベータ関数の定義は
1
∫t^(x-1)•(1-t)^(y-1)dt
0

=(x-1)!(y-1)!/(x+y-1)!

=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)


Γ関数(ガンマ関数)の定義は、
Γ(x)=

∫exp(-t)•t^(x-1)•dt
0


①の
∫x^(-2/3)√(1-x)dx
のところをみると
ベータ関数の
x-1=-2/3
なので、
x=1/3


y-1=1/2
でy=3/2
なので、
B(1/3,3/2)
=Γ(1/3)Γ(3/2)/Γ(1/3+3/2)
=Γ(1/3)Γ(3/2)/Γ(11/6)
です。

Γ関数は、自然数nに対して
Γ(n+1)=Γ(n)
Γ(1)=1
Γ(n)=(n-1)!
が成り立ち、
また、
Γ(n+1/2)ならば、
Γ(n+1/2)=(n-1/2)(n-3/2)........Γ(1/2)
を満たす。
Γ(1/2)=π
である。
よって、
Γ(3/2)=Γ(1/2)=π

以上より、

1
∫x^(-2/3)√(1-x)dx
0
=Γ(1/3)π/Γ(11/6)
になった。

Γ(1/3)=

∫exp(-t)•t^(-2/3)dt
0

Γ(11/6)=Γ(11/6-1)
=Γ(5/6)





∫[0,1]√(1-x)(1/3)x^(-2/3)dx=

integral_0^1 sqrt(1-x)/(3 x^(2/3)) dx = (sqrt(pi) Gamma(1/3))/(6 Gamma(11/6))≒
0.841309